L'abstraction du problème est une étape de formalisation et de spécification par l'intermédiaire d'un modèle mathématique. L'abstraction est caractérisée par la règle d'abstraction:
Représenter les objets du monde réel, les relations entre-eux, ainsi que les événements dans ce monde réel par un modèle mathématique approprié.
Ainsi par exemple, pour identifier les assurés de la sécurité sociale, qui sont les objets du monde réel, on utilise des codes (matricules) qui font partie d'un modèle mathématique.
L'abstraction est une étape éminemment importante au cours de la solution d'un problème. Le choix du modèle a une influence substantielle sur la suite de la solution.
Le processus de modelage connaît trois composantes essentielles :
1) l'état respectivement l'événement réel que l'on veut abstraire,
2) la structure mathématique abstraite,
3) la coordination entre les objets du monde réel et ceux de la structure mathématique.
La figure 2.4 représente la relation entre ces trois composantes :
Figure 2.4 Le processus d'abstraction d'un problème
Réciproquement, des résultats qui ont été acquis dans le cadre du modèle mathématique doivent être interprétés dans la terminologie du monde réel. La figure 2.5 représente un tel procédé de résolution par un modèle mathématique.
Un modèle une fois établi, il est temps de reformuler le problème à l'aide de la terminologie du modèle. On parle de spécification dans le sens de décomposition. La spécification est caractérisée par la règle de spécification:
Figure 2.5 Procédé de résolution par un modèle mathématique
1) Déterminer le type de la fonction à réaliser par l'algorithme cherché.
2) Définir le champ des données d'entrée et de sortie dans la terminologie du modèle choisi et décrire leurs interdépendances.
Exemple:
Soit les fonctions PGCD pour déterminer le plus grand commun diviseur et PPCM pour déterminer le plus petit commun multiple de deux nombres entiers naturels M et N.
• Spécification de la fonction PGCD:
PGCD: IN* x IN* ¾¾® IN*
( M, N ) |¾¾¾® Y = PGCD( M, N )
Paramètre d'entrée: le couple ( M, N ).
Paramètre de sortie Y tel que:
( M MOD Y = 0 et N MOD Y = 0 ) et
(" Q Î IN* ( Q > Y Þ M MOD Q ¹ 0 ou N MOD Q ¹ 0 )).
• Spécification de la fonction PPCM:
PPCM: IN* x IN* ¾¾® IN*
( M, N ) |¾¾¾® Y = PPCM( M, N )
Paramètre d'entrée: le couple ( M, N ).
Paramètre de sortie Y tel que:
( Y MOD M = 0 et Y MOD N = 0 ) et
(" Q Î IN* ( Q < Y Þ Q MOD M ¹ 0 ou Q MOD N ¹ 0 )).
Du point de vue mathématique, un algorithme définit une fonction calculable. Ainsi par exemple :
F( X,Y ) = PGCD( X,Y ) ::= PGCD de X et de Y
X et Y étant deux nombres entiers positifs non nuls.
On montre que si une fonction est calculable par un algorithme, elle peut l'être par beaucoup d'autres. Il en résulte qu'il est possible d'optimiser les algorithmes, problème important en méthodologie de la programmation où l'on cherche, entre autres, les meilleures performances de calcul.
Termes techniques
• Abstraction du problème
• Fonction calculable
• Processus de modelage
• Règle d'abstraction
• Règle de spécification
• Spécification