9.9 L'algèbre de Boole

Le concept de condition implique l'évaluation d'une expression booléenne relative à l'algèbre de BOOLE et à ses opérateurs logiques.

Constatant que la "nature" des objets mathématiques est au fond secondaire pour le mathématicien, le mathématicien anglais Georges BOOLE (1815-1864) déclarait en 1847:

"La mathématique traite des opérations considérées en elles-mêmes, indépendamment des matières diverses auxquelles elles peuvent être appliquées."

C'est BOOLE qui, dans son ouvrage "The Mathematical Analysis of Logic" a établi en 1847 les bases de l'algèbre de la logique, appelée d'après son inventeur algèbre de BOOLE. L'algèbre de BOOLE est basée sur les valeurs de vérité True et False [angl. truth-values; all. Wahrheitswerte]. Ces deux valeurs définissent un domaine, appelé domaine des valeurs booléennes, noté B = { False, True }.

On définit les opérations booléennes suivantes en Turbo-Pascal:

• La réunion ou somme logique ou disjonction logique notée OR. On lit "ou (inclusif)".

• L'intersection ou produit logique ou conjonction logique notée AND. On lit "et".

• La complémentarité ou fonction barre ou négation logique, notée NOT. On lit "non".

La table de vérité [angl. truth table; all. Wahrheitstabelle] de la figure 9.15 donne, pour chaque couple de valeurs possibles des variables booléennes A et B, la définition des opérations OR, AND et NOT.

Une représentation graphique des opérations booléennes peut être donnée sous forme d'un diagramme d'EULER-VENN (figure 9.14).

Figure 9.14 Diagrammes d'EULER-VENN

Soient les variables booléennes A, B et C. Les opérations booléennes vérifient les propriétés suivantes:

• Idempotence:

A AND A = A
A OR A = A

Figure 9.15 Table de vérité

• Commutativité:

A AND B = B AND A
A OR B = B OR A

• Associativité:

A AND ( B AND C ) = ( A AND B ) AND C
A OR ( B OR C ) = ( A OR B ) OR C

• Absorption:

A AND ( A OR B ) = A OR ( A AND B )

• Distributivité :

A AND ( B OR C ) = ( A AND B ) OR ( A AND C )
A OR ( B AND C ) = ( A OR B ) AND ( A OR C )

• Existence d'un élément unité U et d'un élément vide W:

A AND U = A
A OR W = A

• Existence d'extrémités:

A OR U = U
A AND W = W

• Existence d'un élément complémentaire:

A OR NOT A = U
A AND NOT A = W

On démontre sans peine à l'aide d'une table de vérité les égalités suivantes:

(1) NOT NOT A = A
(2) NOT( A AND B ) = NOT A OR NOT B
(3) NOT( A OR B ) = NOT A AND NOT B

Les égalités (2) et (3) sont connues sous le nom de lois de MORGAN.

C'est Claude SHANNON qui, en 1937, eut l'idée d'appliquer l'algèbre de la logique aux circuits électriques, circuits dits de communication. Cette algèbre, appelée algèbre des circuits, est une algèbre booléenne. L'élément vide est représenté par 0 et l'élément unité par 1.

L'algèbre des circuits intéresse des classes de nombres, d'objets, de propositions etc. ainsi que les valeurs vraies ou fausses de leurs états.

TERMES TECHNIQUES

• algèbre de BOOLE

• algèbre des circuits

• conjonction logique

• disjonction logique

• négation logique

• lois de MORGAN

• table de vérité

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