'

'

'

'

'

' _________________ {"triangulaires"} -----------------

'

'

'

'

'

' Somme_{i=1..n} C(i+1,2)^5 = 3 * [ C(n+2,3) ] * [ 1/3 +(80/4)*C(n-1,1) +(1135/5)*C(n-1,2)

' +(6354/6)*C(n-1,3) +(18078/7)*C(n-1,4) +(28800/8)*C(n-1,5) +(26100/9)*C(n-1,6)

' +(12600/10)*C(n-1,7) +(2520/11)*C(n-1,8) ]

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'    

'     s(n,k) =

'     (-1)^(n-k) * S1(n,k) =

'     (-1)^(n-k) * ( n!/{(k-1)!*(n-k)!*2^(n-k)} ) * [ {1}*n^(n-k-1)

'     - { (n-k)!/(6*(n-k-2)!) }*n^(n-k-2)

'     + { (n-k)!/(72*(n-k-4)!) }*n^(n-k-3)

'     - { (1/6480)*(5*(n-k)!/(n-k-6)!-36*(n-k)!/(n-k-4)!) }*n^(n-k-4)

'     + { (1/155520)*(5*(n-k)!/(n-k-8)!-144*(n-k)!/(n-k-6)!) }*n^(n-k-5)

'     - { (1/6531840)*(7*(n-k)!/(n-k-10)!-504*(n-k)!/(n-k-8)!+2304*(n-k)!/(n-k-6)!) }*n^(n-k-6)

'     + { (1/1175731200)*(35*(n-k)!/(n-k-12)!-5040*(n-k)!/(n-k-10)!+87264*(n-k)!/(n-k-8)!) }*n^(n-k-7)

'     - {-16*C(n-k-8,0)/15 -128*C(n-k-8,1)/15 -124*C(n-k-8,2)/45 +7072*C(n-k-8,3)/45

'       +5390*C(n-k-8,4)/9 +34832*C(n-k-8,5)/45 +...}*n^(n-k-8)

'     + {-208*C(n-k-9,1)/9 -208*C(n-k-9,2) -16172*C(n-k-9,3)/27

'       +156*C(n-k-9,4) +...}*n^(n-k-9)

'     - {256*C(n-k-10,0)/33 +2560*C(n-k-10,1)/33 +488*C(n-k-10,2)/165

'       -83504*C(n-k-10,3)/33 -...}*n^(n-k-10)

'     + {255968*C(n-k-11,1)/945 +2815648*C(n-k-11,2)/945 +...}*n^(n-k-11)

'     - {-353792*C(n-k-12,0)/4095 -1415168*C(n-k-12,1)/1365 -...}*n^(n-k-12) + ..... ]

'    

'     s(n,k) =

'     (-1)^(n-k) * S1(n,k) =

'     (-1)^(n-k) * ( n!/{(k-1)!*2^(n-k)} ) * [ { 1/(n-k)! }*n^(n-k-1)

'     - { (1/6)*(1/(n-k-2)!) }*n^(n-k-2)

'     + { (1/72)*(1/(n-k-4)!) }*n^(n-k-3)

'     - { (1/6480)*(5/(n-k-6)!-36/(n-k-4)!) }*n^(n-k-4)

'     + { (1/155520)*(5/(n-k-8)!-144/(n-k-6)!) }*n^(n-k-5)

'     - { (1/6531840)*(7/(n-k-10)!-504/(n-k-8)!+2304/(n-k-6)!) }*n^(n-k-6)

'     + { (1/1175731200)*(35/(n-k-12)!-5040/(n-k-10)!+87264/(n-k-8)!) }*n^(n-k-7)

'     - { (1/7054387200)*(5/(n-k-14)!-1260/(n-k-12)!+52704/(n-k-10)!-186624/(n-k-8)!) }*n^(n-k-8)

'     + { (1/338610585600)*(5/(n-k-16)!-2016/(n-k-14)!+164736/(n-k-12)!-2156544/(n-k-10)!) }*n^(n-k-9)

'     - { (1/1005673439232000)*(275/(n-k-18)!-166320/(n-k-16)!+23379840/(n-k-14)!

'          -726713856/(n-k-12)!+2149908480/(n-k-10)!) }*n^(n-k-10)

'     + { (1/84476568895488000)*(385/(n-k-20)!-332640/(n-k-18)!+73846080/(n-k-16)!

'          -4425974784/(n-k-14)!+47769772032/(n-k-12)!) }*n^(n-k-11) - ..... ]

'    

'     s(n,k) =

'     (-1)^(n-k) * S1(n,k) =

'     (-1)^(n-k) * ( n!/{(k-1)!*2^(n-k)} )

'     * [ Somme_{i=1..n-k} (-1)^(i-1)

'     * { ( 1 / { 6^(i-1)*(i-1)!*(n-k-2*i+2)! } )

'     - ( { (i-3) } / { 5*6^(i-2)*(i-3)!*(n-k-2*i+4)! } )

'     + ( { (i-5)*(21*i-46) } / { 1050*6^(i-3)*(i-5)!*(n-k-2*i+6)! } )

'     - ( { (i-7)*(i-4)*(7*i-11) } / { 5250*6^(i-4)*(i-7)!*(n-k-2*i+8)! } )

'     + ( { (i-9)*6*(5040+2959*C(i-10,1)+...) } / { 1819125*6^(i-5)*(i-9)!*(n-k-2*i+10)! } )

'     - ..... } * n^(n-k-i) ]

'    

'      ((( Cette "formule explicite" {d'échelon ou de rang 1 selon Louis Comtet (2.3); et aussi pas

'           seulement récurrente comme d'aucunes} couvre plus de 72 % des coefficients présents dans

'           le tableau de Francis L. Miksa (1956) tiré du Formulaire ou Sommier d'Abramowitz et Stegun

'           [ Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables;

'           Table 24.3; pp. 833-834 ] ! )))

'    

'      {{{ «« . . . mais on ne connaît pas d'expression donnant s(n,k) en fonction de n et k . . . »»

'           [ " Stirling " - Dictionnaire des Mathématiques par Alain Bouvier, Michel George et François Le Lionnais;

'           Presses universitaires de France (P.U.F.); page 711 (1983, 2 ème édition), pages 800-801

'           (1993, 4 ème édition) ] }}}

'    

'    

'     S(n,k) =

'     S2(n,k) =

'     ( n!/{(k-1)!*(n-k)!*2^(n-k)} ) * [ {1}*n^(n-k-1)

'     - {5*C(n-k-2,0)/3 +10*C(n-k-2,1)/3 +5*C(n-k-2,2)/3}*n^(n-k-2)

'     + {6*C(n-k-3,0) +79*C(n-k-3,1)/3 +43*C(n-k-3,2) +31*C(n-k-3,3)

'       +25*C(n-k-3,4)/3}*n^(n-k-3)

'     - {502*C(n-k-4,0)/15 +3508*C(n-k-4,1)/15 +30161*C(n-k-4,2)/45

'       +45524*C(n-k-4,3)/45 +12752*C(n-k-4,4)/15 +3400*C(n-k-4,5)/9

'       +625*C(n-k-4,6)/9}*n^(n-k-4)

'     + {760*C(n-k-5,0)/3 +7390*C(n-k-5,1)/3 +30800*C(n-k-5,2)/3

'       +649625*C(n-k-5,3)/27 +939175*C(n-k-5,4)/27 +...}*n^(n-k-5)

'     - {152696*C(n-k-6,0)/63 +213060*C(n-k-6,1)/7 +10586924*C(n-k-6,2)/63

'       +34009180*C(n-k-6,3)/63 +...}*n^(n-k-6)

'     + {84112*C(n-k-7,0)/3 +58548164*C(n-k-7,1)/135

'       +344857628*C(n-k-7,2)/135 +...}*n^(n-k-7)

'     - {17120272*C(n-k-8,0)/45 +315705056*C(n-k-8,1)/45 +...}*n^(n-k-8)

'     + {29621376*C(n-k-9,0)/5 +...}*n^(n-k-9) - ..... ]

'    

'     S(n,k) =

'     S2(n,k) =

'     1/(k-1)! * Somme_{i=1..[2*k+1+(-1)^(k-1)]/4}

'     [ C(k-1,2*i-2) * (k-2*i+2)^(n-1) - C(k-1,2*i-1) * (k-2*i+1)^(n-1) ]

'    

---